Question

设函数 

（Ⅰ）证明对每一个，存在唯一的，满足；

（Ⅱ）由（Ⅰ）中的构成数列，判断数列的单调性并证明；

（Ⅲ）对任意，满足（Ⅰ），试比较与的大小.

Answer

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）数列单调递减，证明详见解析；（Ⅲ） ．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证明对每一个，存在唯一的，满足，只需证明两点，第一证在上为单调函数，第二证，在区间的端点的函数值异号，本题是高次函数，可用导数法判断单调性，而判断的符号是，可用放缩法；（Ⅱ）由（Ⅰ）中的构成数列，判断数列的单调性，由（Ⅰ）知在上递增，只需比较的大小，由（Ⅰ）知，故，而，从而得到，而，所以，这样就可判断数列的单调性；（Ⅲ）对任意，满足（Ⅰ），试比较与的大小，由（Ⅱ）知数列单调递减，故，即比较与的大小，由（Ⅰ）知，写出与的式子，两式作差即可．本题函数与数列结合出题，体现学科知识交汇点的灵活运用，的确是一个好题，起到把关题的作用．

试题解析：（Ⅰ） ，显然,当时,,故在上递增，又，，故存在唯一的，满足 ；

（Ⅱ）因为，所以，，由（Ⅰ）知在上递增，故，即数列单调递减；

（Ⅲ） 由（Ⅱ）数列单调递减，故，而， ，两式相减：并结合，以及， ，所以有 ．

考点：函数与导数，导数与函数的单调性、根的存在性定理，数列的单调性，不等式中的放缩法的运用，学生的基本推理能力，及基本运算能力以及转化与化归的能力.