Question

在平面直角坐标系中，已知点，，为动点，且直线与直线的斜率之积为.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）设过点的直线与曲线相交于不同的两点，.若点在轴上，且，求点的纵坐标的取值范围.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程、中点坐标公式等基础知识，突出解析几何的基本思想和方法的考查：如数形结合思想、分类讨论思想、坐标化方法等.第一问，设出动点坐标，利用斜率的关系列出表达式，整理出方程；第二问，先根据直线的斜率是否存在进行讨论，当斜率存在时，设出直线方程，因为相交，所以联立方程，消参，得到关于的方程，找到中点坐标，因为，所以找直线的垂直平分线，令，得到纵坐标，讨论的正负，利用基本不等式得到范围.

试题解析：（1）设动点的坐标为，依题意可知，

整理得.                     3分

所以动点的轨迹的方程为.            5分

（2）当直线的斜率不存在时，满足条件的点的纵坐标为.       7分

当直线的斜率存在时，设直线的方程为.

将代入并整理得，

 .   .           8分   

设，，则， .

设的中点为，则，，

所以.                 10分

由题意可知，

又直线的垂直平分线的方程为.

令解得 .                         .   11分

当时，因为，所以；      

当时，因为，所以.   .   13分

综上所述，点纵坐标的取值范围是.                .   14分

考点：1.椭圆的标准方程；2.中点坐标公式；3.垂直平分线方程；4.基本不等式.