Question

已知函数，设曲线在与轴交点处的切线为，为的导函数，满足．

（1）求；

（2）设，，求函数在上的最大值；

（3）设，若对于一切，不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer

（1）；（2） ；（3）．

【解析】

试题分析：（1）三次函数的导数是二次函数，由，知其对称轴，曲线的切线问题，可利用导数的几何意义(切点处切线的斜率)列出方程组求解；（2），画出函数图象考察其单调性，根据其单调区间对的值分类讨论求出其最大值；（3）对不等式进行化简，得恒成立，即，且，对任意的成立，然后又转化为求函数的最值问题，要注意，从而有.

试题解析：（1），∵，

∴函数的图象关于直线对称，，       2分

∵曲线在与轴交点处的切线为，∴切点为，

∴，解得，则        5分

（2）∵，

∴，其图象如图           7分

当时，，

当时，，

当时，，

综上                 10分

（3），，

当时，，所以不等式等价于恒成立，

解得，且，                      13分

由，得，，所以，

又，∵ ，∴所求的实数的的取值范围是    16分

考点：函数与导数、曲线的切线、不等式恒成立问题.