Question

已知，函数．

（1）当时，写出函数的单调递增区间；

（2）当时，求函数在区间[1，2]上的最小值；

（3）设，函数在（m，n）上既有最大值又有最小值，请分别求出m，n的取值范围（用a表示）．

Answer

（1）；（2）；（3）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）对于含绝对值的函数一般可通过讨论去掉绝对值化为分段函数再解答，本题当时，函数去掉绝对值后可发现它的图象是由两段抛物线的各自一部分组成，画出其图象，容易判断函数的单调递增区间；（2）时，所以，这是二次函数，求其在闭区间上的最小值，一般要分类讨论，考虑对称轴和区间的相对位置关系，从而判断其单调性，从而求出最小值；（3）函数在开区间上有最大值和最小值，必然要使开区间上有极大值和极小值，且使极值为最值，由于函数是与二次函数相关，可考虑用数形结合的方法解答.

试题解析：（1）当时，,                  2分

由图象可知，的单调递增区间为．                    4分

（2）因为，所以．  6分

当，即时，；                     7分

当，即时，．                            8分

．                                           9分

（3），                                            10分

①当时，图象如图1所示．

图1

由得．              12分

②当时，图象如图2所示．

图2

由得．              14分

考点：含绝对值的函数、二次函数.