Question

如图，某生态园欲把一块四边形地辟为水果园，其中， ，．若经过上一点和上一点铺设一条道路，且将四边形分成面积相等的两部分，设．

（1）求的关系式；

（2）如果是灌溉水管的位置，为了省钱，希望它最短，求的长的最小值；

（3）如果是参观路线，希望它最长，那么的位置在哪里？

Answer

（1）；（2）；（3）P点在B处，Q点在E处.

【解析】

试题分析：（1）由题目条件可求出，延长BD、CE交于点A，则由得出结论，于是可知的面积，而它的面积又可用表示出来，于是问题得到解决；（2）中利用余弦定理，可将的长度用表示，再利用（1）的结果消去，则得到关于的函数关系式，然后利用基本不等式或求函数最值的一般方法求出函数的最小值或最大值，要注意函数的定义域；（3）思路同（2）.

试题解析：（1）易知，延长BD、CE交于点A，则，则．

．            4分

（2）

           6分

当，即时，

．                   8分

（3）令，    10分

则，

，令得，，                    12分

在上是减函数，在上是增函数，

，PQmax = 2，                 14分

此时，P点在B处，Q点在E处.          16分

考点：函数的应用、基本不等式、函数的最值.