Question

已知函数，

（1）判断函数的奇偶性；

（2）求函数的单调区间；

（3）若关于的方程有实数解，求实数的取值范围

Answer

（1）偶函数；（2）,；（3） 

【解析】

试题分析：(1)判断奇偶性，需先分析函数的定义域要关于原点对称，然后分析解析式与的关系可得；(2)根据偶函数在对称区间上的单调性相反，所以可以考虑先分析时的单调性，于是在时利用导数分析函数的单调性，然后再分析对称区间上的单调性；（3）把方程的根转化为函数的零点，然后利用导数分析函数的最值，保证函数图形与的交点的存在

试题解析：（1）函数的定义域为且关于坐标原点对称       1分

为偶函数                 4分

（2）当时，                5分

令

令

                              6分

所以可知：当时，单调递减，

当时，单调递增，           7分

又因为是偶函数，所以在对称区间上单调性相反，所以可得：

当时，单调递增，

当时，单调递减，           8分

综上可得：的递增区间是:,；

的递减区间是: ,                           10分

（3）由，即,显然,

可得：令，当时, 

            12分

显然，当时，,单调递减，

当时，,单调递增，

时,             14分 

又，所以可得为奇函数，所以图像关于坐标原点对称

所以可得:当时，            16分 

∴的值域为  ∴的取值范围是       16分

考点：奇偶性，导数，函数的单调性，函数的最值