Question

已知函数 (为实常数) 

 （1）当时，求函数在上的最大值及相应的值；

（2）当时，讨论方程根的个数

（3）若，且对任意的，都有，求实数a的取值范围

Answer

（1）当时；（2）当时，方程有2个相异的根；当 或时，方程有1个根；当时，方程有0个根；（3） 

【解析】

试题分析：(1) 利用导数求解极值点，然后确定单调性，分析最值；(2)把方程的根转化为函数图像的交点，利用导数研究单调性，进而求最值，然后分析交点的情形即根的情形；（3）通过对函数单调性的分析，可得导数在区间上大于零恒成立问题，然后转化为最值求解

试题解析：（1），

当时， 当时，，

又，

故，当时，取等号         4分

（2）易知，故，

方程根的个数等价于时，方程根的个数。

设=，

当时，，函数递减，

当时，，函数递增。

又，，作出与直线的图像，由图像知：

当时，即时，方程有2个相异的根；

当 或时，方程有1个根；

当时，方程有0个根；                10分

（3）当时，在时是增函数，又函数是减函数，不妨设，则等价于

即，故原题等价于函数在时是减函数，

恒成立，即在时恒成立。

在时是减函数               16分

（其他解法酌情给分）

考点：导数，函数的单调性，函数的最值