Question

 如图，三棱锥P ABC中，已知PA⊥平面ABC，△ABC是边长为2的正三角形，D，E分别为PB，PC中点

（1）若PA＝2，求直线AE与PB所成角的余弦值；

（2）若PA，求证：平面ADE⊥平面PBC

Answer

（1），；（2） 

【解析】

试题分析：(1)首先建立空间直角坐标系，给出相关点的坐标，利用空间向量求解；(2) 利用空间向量求解平面的法向量，然后根据法向量互相垂直可证明

试题解析：（1）如图，取AC的中点F，连接BF，则BF⊥AC 以A为坐标原点，过A且与FB平行的直线为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系

则A(0，0，0)，B(，1，0)， C(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，1，1)，

从而＝(，1， 2)， ＝(0，1，1)  

设直线AE与PB所成角为θ，

则cosθ＝||＝

即直线AE与PB所成角的余弦值为                        5分

（2）如上图，则

A(0，0，0)，B(，1，0)， C(0，2，0)，P(0，0，)，E(0，1，)，

设平面PBC的法向量为，则

令，则，所以

同理可求平面ADE的法向量

所以，即

于是平面ADE⊥平面PBC

考点：空间直角坐标系、空间向量、线线角以及面面垂直的证明