Question

已知函数的导函数是二次函数，当时，有极值，且极大值为2，.

（1）求函数的解析式；

（2）有两个零点，求实数的取值范围；

（3）设函数，若存在实数，使得，求的取值范围.

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）先通过函数的导函数是二次函数，且当时，有极值将函数的导函数设出来：.从而可设，其中为常数.再由极大值为2及将求出.注意，极大值为2，即或时，函数值为2.结合正好可以将其中一种情况舍去,从而解出,于是得到函数的解析式；（2）由，列出表格，分析函数的单调性和极值.有两个零点，即方程有两个根，而，即方程与方程各只有一个解.结合函数的单调性和极值，发现方程只有当或时才只有一个解.所以有或或，从而解得或；（3）由于存在实数，使得，也就是说，否则就不存在实数，使得.因此本题转化为求在上的最大值与最小值.根据条件可得，所以其导函数.然后讨论的范围以得到在上单调性，从而找出最值.再通过不等式得到的取值范围.注意当时比较麻烦，在上先减后增，，而最大值无法确定是中的哪一个，所以我们用来表示不等式.

试题解析：（1）由条件，可设，则，其中为常数.

因为极大值为2.所以或，即或.由得①.所以，即②.由①②可得，.所以.

（2）由（1），得，即.列表：

-1

（-1,0）

1

-

0

+

0

-

极小值-2

极大值2

又因为函数有两个根，即方程有两个根，而，

所以或或，解得或.

所以若函数有两个零点，实数的取值范围为.

（3）由于存在实数，使得，则问题等价于.

，

，.在上，

当时，，在上递减，

，即，得.

当时，，在上递增，

，即，得.

当时，在上，递减；在上，递增.

,即.（*）

，在上递减，.

，而，不等式（*）无解.

综上所述，存在，使得命题成立.

考点：1.函数的极值、最值；2.利用导数研究函数的单调性；3.常见函数的导数及导数的运算法则.