Question

已知函数.

（1）设，试讨论单调性；

（2）设，当时，若，存在，使，求实数的

取值范围.

Answer

（1）当时，在上是增函数，在和上是减函数；当时，在上是减函数；当时，在上是增函数，在和上是减函数；（2）.

【解析】

试题分析：（1）先求出的导数，，然后在的范围内讨论的大小以确定和的解集；（2）时，代入结合上问可知函数在在上是减函数，在上是增函数，即在取最小值，若，存在，使，即存在使得.从而得出实数的取值范围.注意不能用基本不等式，因为等号取不到，实际上为减函数.所以其值域为，从而，即有.

试题解析：（1）函数的定义域为，

因为，所以，

令，可得，，              2分

①当时，由可得，故此时函数在上是增函数.

同样可得在和上是减函数.               4分

②当时，恒成立，故此时函数在上是减函数.            6分

③当时，由可得，故此时函数在上是增函数，

在和上是减函数；              8分

（2）当时，由（1）可知在上是减函数，在上是增函数，

所以对任意的，有，

由条件存在，使，所以，              12分

即存在，使得，

即在时有解,

亦即在时有解,

由于为减函数，故其值域为，

从而，即有，所以实数的取值范围是.              16分

考点：1.常见函数的导数；2.利用导数研究函数的单调性；3.利用函数单调性求最值.