Question

已知轴对称平面五边形（如图1），为对称轴，，，，将此图形沿折叠成直二面角，连接、得到几何体（如图2）．

（Ⅰ）证明：∥平面；     

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）主要利用空间向量、线线平行可证线面平行；（Ⅱ）主要利用平面的法向量来求二面角的平面角.

试题解析：（Ⅰ）以B为坐标原点，分别以射线BF、BC、BA为x轴、 y轴、z轴的正方向建立如图所示的坐标系.

由已知与平面几何知识得，，

∴，

∴，∴AF∥DE，

又平面，且平面 

∴∥平面 

（Ⅱ）由（Ⅰ）得四点共面，，

设平面，，则，

不妨令，故，

由已知易得平面ABCD的一个法向量为，

∴，∴二面角E-AD-B的余弦值为．

考点：立体几何线面平行的证明、二面角的求解，考查学生的空间想象能力和空间向量的使用.