Question

设函数，若在点处的切线斜率为．

（Ⅰ）用表示；

（Ⅱ）设，若对定义域内的恒成立，

（ⅰ）求实数的取值范围；

（ⅱ）对任意的，证明：．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析.

【解析】

试题分析：(Ⅰ) 利用导数的几何意义“曲线在某点处的导数值等于该点处切线的斜率”来求；(Ⅱ)利用导数研究单调性，进而求最值.

试题解析：（Ⅰ），依题意有：； 

（Ⅱ）恒成立．

（ⅰ）恒成立，即．  

方法一：恒成立，则．

当时，

,

则，，单调递增，

当，， 单调递减，

则，符合题意，即恒成立．

所以，实数的取值范围为．    

方法二：，

①当时，，，，单调递减，当，， 单调递增，则，不符题意；

②当时，

，

（1）若，，，，单调递减；当，， 单调递增，则，不符题意；

（2）若，

若，，，，单调递减，

这时，不符题意；

若，，，，单调递减，这时，不符题意；

若，，，，单调递增；当，， 单调递减，则，符合题意；

综上，得恒成立，实数的取值范围为．

方法三：易证

∵，∴，

当，即时，，即恒成立；

当时，，不符题意．

综上，得恒成立，实数的取值范围为．

（ⅱ）由（ⅰ）知，恒成立，实数的取值范围为．

令，考虑函数

，

下证明，即证：，即证明

，

由，即证，

又，只需证，

即证，显然成立．

即在单调递增，，

则，得成立，

则对任意的，成立．

方法二：由（ⅰ）知，恒成立，实数的取值范围为．

令，则

，

∴在区间上单调递增，

依题意，，

∴，

∴，即对任意的，成立．

考点：导数，函数的单调性，不等式证明等知识点，考查学生的综合处理能力.