Question

已知函数，

（1）讨论函数的单调性；

（2）证明：若，则对于任意有。

Answer

（1）a=2时，在上单调增加；时，在上单调减少，在，上单调增加；时，在（1，a-1）上单调减少，在(0,1)，(a-1,+œ)上单调增加；                  

（2）证明详见解析

【解析】

试题分析：（1）求导，利用导数分类求单调性；（2）先求导，然后求出单间区间，在进一步证明即可.

试题解析：（1）的定义域为，

（i）若，即a=2，则，故在上单调增加。

（ii）若，而，故，则当时，；

当及时，。

故在上单调减少，在，上单调增加。

（iii）若，即， 同理可得在（1，a-1）上单调减少，在(0,1)，(a-1,+œ)上单调增加。                  

（2）考虑函数，

则，

由于，故，即在上单调增加，从而当时，

有，即，故；

当时，有。

考点：1.求函数的导数；2.利用导数求函数的单调性.