Question

已知函数．

（1）当时，求在最小值；

（2）若存在单调递减区间，求的取值范围；

（3）求证：（）．

Answer

（1）1    （2）

【解析】

试题分析：（1）先求函数的导数，利用导数求出函数f（x）的单调区间，即可可求在最小值；（2）先求导，由有正数解得到含有参数a的关于x的不等式有的解,在分类求出满足条件的a，最后求并集即可.（3）用数学归纳法证明.

试题解析：（1），定义域为．

在上是增函数．

.                                4分

（2）因为

因为若存在单调递减区间，所以有正数解.

即有的解 

当时，明显成立 .

②当时，开口向下的抛物线，总有的解；

③当时，开口向上的抛物线，

即方程有正根.

因为，

所以方程有两正根.

当时，；

，解得．

综合①②③知：．

或： 

有的解 

 即 

  即  

，

（3）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当时，，即．

令，则有，    ．

，

．                                 14分

 (法二)当时，．

，，即时命题成立．

设当时，命题成立，即 ．

 时，．

根据（Ⅰ）的结论，当时，，即．

令，则有，

则有，即时命题也成立．

因此，由数学归纳法可知不等式成立．

考点：1.求函数的导数和导数性质的应用；2.含参数不等式的解法.