Question

已知函数：

(1)若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；

(2)问：是否存在常数，当时，的值域为区间，且的长度为.

Answer

(1) ;(2)存在，见解析.

【解析】

试题分析：(1) 先由函数对称轴为得函数在上单调减，要使函数在存在零点，则需满足，解得； (2)当时，的值域为，由，得合题意；当时，的值域为，由，得不合题意；当时，的值域为，用上面的方法得或合题意.

试题解析：⑴ ∵二次函数的对称轴是

∴函数在区间上单调递减

∴要函数在区间上存在零点须满足 

即  

解得  ，所以.

⑵ 当时，即时，的值域为：，即   

∴

∴   ∴ 

经检验不合题意，舍去。

当时，即时，的值域为：，即 

∴, ∴

经检验不合题意，舍去。

当时，的值域为：，即 

∴

∴   ∴或

经检验或或满足题意。

所以存在常数，当时，的值域为区间，且的长度为.

考点：零点存在性定理、二次函数的单调性、二次函数值域、分类讨论思想.