Question

已知函数，其中.

(1)若对一切x∈R，≥1恒成立，求a的取值集合；

(2)在函数的图像上取定两点，，记直线AB的斜率   为k，问：是否存在x₀∈（x₁，x₂），使成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer

(1) 的取值集合为；

(2) 存在使成立.且的取值范围为

【解析】

试题分析：(1)利用导数求出的最小值，令其大于等于即，解得的取值集合； (2)由题意知，令然后说明在内有唯一零点且，故当且仅当时， .

试题解析：（1）若，则对一切，，

这与题设矛盾，又，故.

而令

当时，单调递减；当时，单调递增，故当时， 取最小值

于是对一切恒成立，当且仅当

. ①

令则

当时，单调递增；当时，单调递减.

故当时，取最大值.因此，当且仅当即时，①式成立.

综上所述，的取值集合为.

（2）由题意知，

令则

令，则.

当时，单调递减；当时，单调递增.

故当，即

从而，又

所以

因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在使单调递增，故这样的是唯一的，且.故当且仅当时， .

综上所述，存在使成立.且的取值范围为.

考点：直线斜率定义、利用导数求函数最值、利用导数求函数单调性、零点存在定理.