Question

已知数列是等差数列，且，；又若是各项为正数的等比数列，且满足，其前项和为，.

(1)分别求数列，的通项公式，；

(2)设数列的前项和为，求的表达式，并求的最小值.

Answer

(1)  ， ；(2) ，.

【解析】

试题分析：(1)首先设出公差和公比，根据已知条件及等比数列和等差数列的性质，列方程组解方程组，求得公差和公比，写出各自的通项公式；(2)因为取偶数和奇数时，数列的项数会有变化，所以对分取偶数和奇数两种情况进行讨论，根据等差数列和等比数列的前项和公式，求出的表达式，根据前后两项的变化确定的单调性，求得每种情况下的最小值，比较一下，取两个最小值中的较小者.

试题解析：(1)设数列的公差是，的公比为，

由已知得，解得，所以；                  2分

又，解得或(舍去)，所以；                  .4分

(2) 当为偶数时，，

当为奇数时.   .10分

当为偶数时，，所以先减后增，

当时，，所以；

当时，，所以；

所以当为偶数时，最小值是.                    12分

当为奇数时，，所以先减后增，

当时，，所以，

当时，，所以，

所以当为奇数时，最小值是.

比较一下这两种情况下的的最小值，可知的最小值是.         .14分

考点：1、等差数列与等比数列的前项和公式；2、数列与函数单调性的综合应用；3、数列与求函数最值的综合运用；4、数列的函数特性.