Question

已知函数.

(1)当时，求函数的极值；

(2)求函数的单调区间；

(3)是否存在实数，使函数在上有唯一的零点，若有，请求出的范围；若没有，请说明理由.

Answer

（1），无极大值；（2）见解析；（3）存在，或.

【解析】

试题分析：（1）先找到函数的定义域，在定义域内进行作答，在条件下求出函数的导函数，根据函数的单调性与导数的关系，判断函数的极值；（2）先求出函数的导函数，其导函数中含有参数，所以要进行分类讨论，对分三种情况，，进行讨论，分别求出每种情况下的函数的单调增区间和单调减区间；（3）结合（2）中的结果，找到函数的极值点，要满足题中的要求，那么或，解不等式，在的范围内求解.

试题解析：（1） 函数的定义域是，        1分

当时，，

所以在上递减，在上递增，

所以函数的极小值为，无极大值；                     4分

（2）定义域，            5分

①当，即时，由，得的增区间为；由，得的减区间为；                 6分

②当，即时，由，得的增区间为和；由，得的减区间为；         7分

③当，即时，由，得的增区间为和；由，得的减区间为；         8分

综上，时，的增区间为，减区间为；

时，的增区间为和，减区间为；

时，的增区间为和，减区间为；        9分

 (3)当时，由（2）知在的极小值为，而极大值为；

由题意，函数的图象与在上有唯一的公共点，

所以，或，结合，

解得或.            13分

考点：1、对数函数的定义域；2、含参数的分类讨论思想；3、函数的单调性与导数的关系；4、解不等式；5、求函数的极值.