Question

已知数列满足，.

(1)求证：数列是等比数列；

(2)设，求数列的前项和；

(3)设，数列的前项和为，求证：(其中).

Answer

（1）见解析；（2）；（3）见解析.

【解析】

试题分析：（1）首先由求出，然后时，构造函数，即可证明在条件下数列是等比数列，将时的值代入也符合，即证；（2）先由（1）得到，然后写出的通项公式，根据等比数列前项和公式求出；（3）求出数列的通项公式，再由累加法求其前项和为，再判断与的关系.

试题解析：（1）证明：由，得，

当时，，即，

所以是首项为，公比为的等比数列，

时，也符合，所以数列是等比数列；    .5分

（2），由（I）得，所以.

所以，

数列的前n项和

.                       10分

（3）证明：

所以，数列的前n项和为

因为当时，，所以                     14分

考点：1、函数的构造；2、等比数列的性质；3、等比数列的前项和；4、累加法求数列的前项和.