Question

已知函数．

（1）若，求在处的切线方程；

（2）若在上是增函数，求实数的取值范围.

Answer

（1）故曲线在处的切线方程为；（2）.

【解析】

试题分析：（1）先将代入函数的解析式，并求出导数，然后分别求出与的值，最后利用点斜式求出切线方程；（2）将“函数在上是增函数”这一条件转化为“不等式在上恒成立”进行求解，结合参数分离法转化为“不等式在上恒成立”型不等式进行处理，即等价于“”，最后利用导数求出函数在上的最小值，从而得到参数的取值范围.

试题解析：（1）当时，，则，

，，

故曲线在处的切线方程为，即；

（2）在上是增函数，则上恒成立，

，，

于是有不等式在上恒成立，即在上恒成立，

令，则，令，解得，列表如下：

减

极小值

增

故函数在处取得极小值，亦即最小值，即，所以，

即实数的取值范围是.

考点：1.利用导数求切线方程；2.函数不等式恒成立；3.参数分离法