Question

已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形,PD⊥底面ABCD,PD=AD.

(Ⅰ)求证：BC∥平面PAD；

(Ⅱ)若E、F分别为PB,AD的中点,求证：EF⊥BC；

(Ⅲ)求二面角C-PA-D的余弦值.

Answer

(Ⅰ)见解析; (Ⅱ) 见解析；(Ⅲ).

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证明BC∥AD，利用线面平行的判定，证明BC∥平面PAD；

（Ⅱ）利用线面垂直的判定证明BC⊥面EFG，即可证明EF⊥BC；

（Ⅲ）设PA的中点为N，连结DN，NC，证明∠CND是所求二面角的平面角，从而可求二面角C-PA-D的余弦值．

试题解析：（Ⅰ）证明：因为ABCD是正方形，所以BC∥AD．

因为AD⊂平面PAD，BC平面PAD，

所以BC∥平面PAD．…（4分）

（Ⅱ）证明：因为PD⊥底面ABCD，且ABCD是正方形，所以PC⊥BC．

设BC的中点为G，连结EG，FG，则EG∥PC，FG∥DC．

所以BC⊥EG，BC⊥FG．…（6分）

因为EG∩FG=G，所以BC⊥面EFG．

因为EF⊂面EFG，所以EF⊥BC．…（8分）

（Ⅲ）【解析】
设PA的中点为N，连结DN，NC，

因为PD=AD，N为中点，所以DN⊥PA．

又△PAC中，PC=AC，N为中点，所以NC⊥PA．

所以∠CND是所求二面角的平面角．…（10分）

依条件，有CD⊥PD，CD⊥AD，

因为PD∩AD=D，所以CD⊥面PAD．

因为DN⊂面PAD，所以CD⊥DN．

在Rt△CND中，DN=,NC=.于是Cos∠CND=．…（13分）

考点：1、用空间向量求平面间的夹角；2、直线与平面平行的判定；3、二面角的平面角及求法．