Question

（理）已知函数f(x)= -lnx,x∈[1,3].

(Ⅰ)求f(x)的最大值与最小值；

(Ⅱ)若f(x)＜4-At对于任意的x∈[1,3],t∈[0,2]恒成立,求实数A的取值范围.

Answer

(Ⅰ)求f(x)的最大值为最小值为；(Ⅱ)A<.

【解析】

试题分析：（1）直接求出函数的导数，通过导数为0，求出函数的极值点，判断函数的单调性，利用最值定理求出f（x）的最大值与最小值；

（2）利用（1）的结论，f（x）＜4-At于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，转化为4-At＞对任意t∈[0，2]恒成立，通过 求实数A的取值范围．

试题解析：（1）因为函数f（x）=﹣lnx，

所以f′（x）=，令f′（x）=0得x=±2，

因为x∈[1，3]，

 当1＜x＜2时  f′（x）＜0；当2＜x＜3时，f′（x）＞0；

∴f（x）在（1，2）上单调减函数，在（2，3）上单调增函数，

∴f（x）在x=2处取得极小值f（2）=﹣ln2；

 又f（1）=，f（3）=，

∵ln3＞1∴

∴f（1）＞f（3），

∴x=1时 f（x）的最大值为，

x=2时函数取得最小值为﹣ln2．

（2）由（1）知当x∈[1，3]时，f（x），

故对任意x∈[1，3]，f（x）＜4﹣At恒成立，

只要4﹣At＞对任意t∈[0，2]恒成立，即At恒成立

记 g（t）=At，t∈[0，2]

∴，解得A，

∴实数A的取值范围是（﹣∞，）．

考点：1、利用导数求闭区间上函数的最值；2、利用导数研究函数的单调性．