Question

对于任意的（不超过数列的项数），若数列的前项和等于该数列的前项之积，则称该数列为型数列。

（1）若数列是首项的型数列，求的值；

（2）证明：任何项数不小于3的递增的正整数列都不是型数列；

（3）若数列是型数列，且试求与的递推关系，并证明对恒成立。

Answer

（1） （2）证明如下 （3），证明如下.

【解析】

试题分析：（1）新信息题的解答严格按照给的信息作答；（2)构造任意一个递增的正整数数列来解决；（3）按照型数列的定义来做.

试题解析:（1）由题意可得即所以又即２+２+＝４，所以＝

（2）设任意一个递增的正整数数列若则由题意可得即该等式不成立，所以所以即因为所以对一切的成立.

因此任何项数不小于3的递增的正整数列都不是型数列；

（3）因为数列是型数列，所以①.于是②.两式相减，得③.则④.两式相除，得整理，得因为所以综上所述，与的递推关系为因为所以当时，若则所以对恒成立.

考点：1、新信息题中对信息的把握能力，2、数列的相关知识及其应用.