Question

如图，四棱锥中，四边形为矩形，为等腰三角形，，平面 平面，且，分别为和的中点．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）证明：平面平面；

（Ⅲ）求四棱锥的体积．

Answer

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证明线面平行，一般可考虑线面平行的判定定理，构造面外线平行于面内线，其手段一般是构造平行四边形，或构造三角形中位线(特别是有中点时)，本题易证从而达到目标；（Ⅱ）要证面面垂直，由面面垂直的判定定理知可先考察线面垂直，要证线面垂直，又要先考察线线垂直；（Ⅲ）求棱锥的体积，关键是作出其高，由面面及为等腰直角三角形，易知（中点为），就是其高，问题得以解决.

试题解析：（Ⅰ）证明：如图，连结．

∵四边形为矩形且是的中点．∴也是的中点．       

又是的中点，                            2分

∵平面，平面，所以平面；       4分

（Ⅱ）证明：∵平面 平面，，平面 平面，

所以平面 平面，又平面，所以       6分

又，是相交直线，所以面 

又平面，平面平面；             8分

（Ⅲ）取中点为．连结,为等腰直角三角形，所以，

因为面面且面面，

所以，面，

即为四棱锥的高．       10分        

由得．又．

∴四棱锥的体积    12分

考点：空间中线面的位置关系、空间几何体的体积.