Question

已知函数

(Ⅰ) 求函数的单调区间；

(Ⅱ) 当时，求函数在上的最小值.

Answer

  (Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详见解析.

【解析】

试题分析：(Ⅰ)一般来说，判断函数的单调区间，就要考察函数的导函数在此区间上的符号，本题中，由于函数中含有参数，这就可能引起分类讨论；(Ⅱ)求函数在某区间上的最值，一般仍是先考察函数在此区间上的单调性，再求其最值，本题中的参数是引起分类讨论的原因，难度较大，分类时要层次清晰，数形结合的思想的应用能迅速帮助找到分类的标准.

试题解析：(Ⅰ) ,       1分

①当时，，                 

故函数增函数，即函数的单调增区间为．       3分

②当时，令，可得，

当时，；当时，，

故函数的单调递增区间为，单调减区间是       6分

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知时，函数的单调递增区间为，单调减区间是

①当,即时,函数在区间上是减函数,

∴的最小值是.            7分

②当，即时，函数在区间上是增函数，

∴的最小值是.       9分

③当，即时，函数在上是增函数，在是减函数．

又，∴当时,最小值是；

当时,最小值为.        11分

综上可知,当时, 函数的最小值是；当时，函数的最小值是     12分

考点：函数的单调性、导数的应用.