Question

已知数列的各项均为正数，其前项和为，且.

⑴求证：数列是等差数列；

⑵设，求证：；

⑶设，，求.

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）

【解析】

试题分析：（1）一般数列问题中出现数列前的和与其项时，则可利用关系找出数列的递推关系，本题可从此入手，证明数列为等差数列；(2)由(1)可求出，根据此式的结构特征，可得，利用裂项相消法求其前的和后再予以判断；(3)根据数列的结构特点(等差乘等比型)可用错位相减法求和.证明数列为等差数列或等比数列，应紧扣定义，通过对所给条件变形，得到递推关系，而等差乘等比型数列的求和最常用的就是错位相减法，使用这个方法在计算上要有耐心和细心，注意各项的符号，防止出错.

试题解析：⑴证明：，当时，或，又.            1分

由，得，

数列是以1为首项，1为公差的等差数列；            4分

⑵证明：由⑴知，，

.            8分

⑶，，       ①

          ②

由①－②得，

.            12分

考点：等差数列、等比数列、错位相减法.