Question

已知函数,

⑴求证函数在上的单调递增；

⑵函数有三个零点，求的值；

⑶对恒成立，求a的取值范围。

Answer

  （1）详见解析；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）证明函数在某区间单调递增，判断其导函数在此区间上的符号即可；（2）判断函数零点的个数一般可从方程或图象两个角度考察，但当函数较为复杂，难以画出它的图象时，可以将其适当等价转化，变为判断两个函数图象交点个数；（3）恒成立问题则常用分离参数的方法，转化为求函数的最值问题，也可直接考察函数的性质进行解决，本题则可转化为，而求则可利用导数去判断函数的单调性，还要注意分类讨论.

试题解析：⑴证明：，

函数在上单调递增.             3分

⑵【解析】
令，解得

极小值1

，函数有三个零点，有三个实根，

.            7分

⑶由⑵可知在区间单调递减，在区间单调递增，

，

又，

设，则

在上单调递增，，即，

，

所以，对于，

.            12分

考点：函数的单调性、函数的零点、不等式恒成立问题.