Question

已知函数，其中是自然对数的底数，．

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）若，求的单调区间；

（3）若，函数的图象与函数的图象有3个不同的交点，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）当时，的单调递减区间为，，单调递增区间为；当时，的单调递减区间为；当时，的单调递减区间为，，单调递增区间为；（3）.

【解析】

试题分析：(1) 利用导数的几何意义求切线的斜率，再求切点坐标，最后根据点斜式直线方程求切线方程；(2)利用导数的正负分析原函数的单调性，注意在解不等式时需要对参数的范围进行讨论；(3)根据单调性求函数的极值，根据其图像交点的个数确定两个函数极值的大小关系，然后解对应的不等式.

试题解析：（1）因为，

所以，

所以曲线在点处的切线斜率为.

又因为，

所以所求切线方程为，即．          2分

（2），

①若，当或时，；当时，.

所以的单调递减区间为，；

单调递增区间为.                    4分

②若，，

所以的单调递减区间为.                     5分

③若，当或时，；当时，.

所以的单调递减区间为，；

单调递增区间为.                  7分

（3）由（2）知函数在上单调递减，在单调递增，在上单调递减，

所以在处取得极小值，在处取得极大值.  8分

由，得.

当或时，；当时，.

所以在上单调递增，在单调递减，在上单调递增.

故在处取得极大值，在处取得极小值. 10分

因为函数与函数的图象有3个不同的交点，

所以，即.  所以.         12分

考点：1.导数的几何意义；2.切线方程；3.利用导数分析函数的单调性4.分类讨论；5.极值6.零点．