Question

已知函数.

（1）若函数上是减函数，求实数a的最小值；

（2）若，使成立，求实数a的取值范围.

Answer

（1）（2）.

【解析】

试题分析：(1) 根据原函数在区间上的单调递减转化为导数在该区间内小于等于零恒成立，再把恒成立转化为最值求解，在求解的过程中利用了二次三项式的配方；(2)命题的等价变换是解决本小题的关键，“若使成立”等价于 “当时，有”，于是整个问题就化为求函数的最值，然后利用导数分析单调性，进而求最值。

试题解析：由已知函数的定义域均为,且.

(1)函数,    2分

因f(x)在上为减函数，故在上恒成立．

所以当时，．

又，

故当，即时，．

所以于是，故a的最小值为．               6分

(2)命题“若使成立”等价于 “当时，有”．

由（Ⅱ），当时，，． 

问题等价于：“当时，有”．               8分

 当时，由（Ⅱ），在上为减函数，

则=，故．                  10分

 当时，由于在上为增函数，

故的值域为，即．

 由的单调性和值域知，唯一，使，且满足：

当时，，为减函数；

当时，，为增函数；

所以，=，．

所以，，与矛盾，不合题意．     11分

综上，得．      12分

考点：1.导数公式；2.函数的单调性；3.恒成立问题；4.函数的最值以及命题的等价变换.