Question

如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，已知BD＝2AD＝2PD＝8，AB＝2DC＝4．

（Ⅰ）设M是PC上一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；

（Ⅱ）若M是PC的中点，求棱锥P－DMB的体积．

Answer

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）要证明平面平面，只需证明一个平面过另一个平面的垂线，因为M是PC上一点，不确定，故证明平面,显然易证；（Ⅱ）求棱锥P－DMB的体积，直接求，底面面积及高都不好求，但注意到棱锥P－DMB是棱锥P－DＣB除去一个小棱锥Ｍ－DＣB而得到，而这两个棱锥的体积都容易求，值得注意的是，当一个几何体的体积不好求时，可进行转化成其它几何体来求．

试题解析：（I）证明：在中，由于，所以．故。又平面平面平面，所以平面,又平面，故平面平面；

(II)过作于是的中点,，．

考点：本小题考查面面垂直的判定、线面垂直的判定，面面垂直的性质定理应用；，以及棱锥的体积公式，考查学生的化归与转化能力以及空间想象能力．