Question

已知△ABC中, 点A，B的坐标分别为A（－，0），B（，0）点C在x轴上方．

（Ⅰ）若点C坐标为（，1），求以A，B为焦点且经过点C的椭圆的方程：

（Ⅱ）过点P（m，0）作倾斜角为的直线l交（1）中曲线于M，N两点，若点Q（1，0）恰在以线段MN为直径的圆上，求实数m的值．

Answer

（Ⅰ）椭圆方程为 ；（Ⅱ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由椭圆定义易求；（Ⅱ）此题是直线与椭圆位置关系的问题，可采用设而不求的解题方法，设，由已知可得直线的方程为，代入椭圆方程，得到关于的一元二次方程，注意到点P（m，0）不一定在椭圆内部，需对方程是否有解讨论, 点恰在以线段为直径的圆上，说明,它们的斜率互为负倒数,利用根与系数关系,建立方程,从而求出实数m的值.此题易错点,不知对方程是否有解讨论.

试题解析：（Ⅰ）设椭圆方程，,

椭圆方程为 ；

（Ⅱ）直线的方程为，令，联立方程得：，，

若恰在以线段为直径的圆上，则，即， ，解得，，符合题意

考点：椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，考查学生的运算能力、化简能力以及数形结合的能力．