Question

已知是定义在上的奇函数，且，若，有恒成立.

（1）判断在上是增函数还是减函数，并证明你的结论；

（2）若对所有恒成立，求实数的取值范围。

Answer

（1）增函数，证明详见解析；（2）或或

【解析】

试题分析：（1）要判断函数的单调性一般可用增函数和减函数的定义或利用导函数判断，由于本题没有函数解析式，再结合题目特点，适于用定义判断，解决问题的关键是对照增函数和减函数的定义，再结合奇函数的条件，怎样通过适当的赋值构造出与和相关的式子，再判断符号解决，通过观察，只要令即可；(2)不等式恒成立问题一般要转化为函数的最值问题，先将原问题转化为对任意成立，再构造函数，问题又转化为任意恒成立，此时可对的系数的符号讨论，但较为繁琐，较为简单的做法是只要满足且即可.

试题解析：（1）设且，则，是奇函数

由题设知

且时  ，

即在上是增函数

（2）由（1）知，在上是增函数，且 

要，对所有恒成立，需且只需

即成立，

令，对任意恒成立  需且只需满足

，或或

考点：函数的单调性、不等式恒成立.