Question

已知函数.

（1）若函数在处取得极值，且函数只有一个零点，求的取值范围.

（2）若函数在区间上不是单调函数，求的取值范围.

Answer

  （1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）函数在处取得极值，知，再由函数只有一个零点和函数的图象特点判断函数的极大值和极小值和0的大小关系即可解决，这是解决三次多项式函数零点个数的一般方法，体现了数形结合的数形思想；（2）三次函数的导函数是二次函数，要使三次函数在不是单调函数，则要满足导数的，要使函数在区间上不是单调函数，还要满足三次函数的导函数在上至少有一个零点.

试题解析：（1），由，

所以，

可知：当时，，单调递增；当时，，单调递减；

当时，，单调递增； 而.

所以函数只有一个零点或，解得的取值范围是.

.由条件知方程在上有两个不等的实根，且在至少有一个根.由 ；

由使得：.

综上可知：的取值范围是.

考点：三次函数的零点、三次函数的单调性.