Question

已知函数.

（Ⅰ）如果函数在区间上是单调函数，求的取值范围；

（Ⅱ）是否存在正实数，使得函数在区间内有两个不同的零点（是自然对数的底数）？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer

（Ⅰ）或；

（Ⅱ）存在，的范围为.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）在上是单调函数，那么它导函数在恒成立；

（Ⅱ）零点的问题一般都求函数的单调区间结合函数的图象来解决.在本题中，直接研究的图象是比较麻烦的，故考虑转化一下.

在区间()内有两个不同的零点,等价于方程在区间()内有两个不同的实根.故转化为研究 的图象.通过求导画出的简图，结合图象可得：

为满足题意，只需在()内有两个不相等的零点, 故

解此不等式即可

试题解析：【解析】
（1）当时，在上是单调增函数，符合题意．

当时，的对称轴方程为，

由于在上是单调函数，所以，解得或，

综上，的取值范围是，或．                                    4分

（2），

因在区间()内有两个不同的零点,所以，

即方程在区间()内有两个不同的实根.                5分

设 ，   

           7分

令，因为为正数，解得或（舍） 

当时, ,  是减函数；  

当时, ，是增函数.                          8分

为满足题意，只需在()内有两个不相等的零点, 故

解得                                              12分

考点：1、导数及其应用；2、函数的零点；3、不等式的解法