Question

如图，在四棱锥中，平面平面，，是等边三角形，已知.

（1）设是上的一点，证明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer

（1）详见试题解析；（2）二面角的余弦值为.

【解析】

试题分析：（1）由勾股定理得：。根据面面垂直的性质定理，可得平面

再由面面垂直的判定定理得：平面平面；

（2）思路一、由于，故可以为原点建立空间直角坐标系，利用向量方法可求得二面角的余弦值.

思路二、作出二面角的平面角，然后求平面角的余弦值.

由（1）知平面，所以平面平面

过作的垂线，该垂线即垂直平面

再过垂足作的垂线，将垂足与点连起来，便得二面角的平面角

试题解析：（1）证明：在中，由于,,,

,故.

又，

，，又，

故平面平面                                              5分

（2）法一、如图建立空间直角坐标系，, ,

  , .

设平面的法向量, 由

令, .

设平面的法向量, 由

即，令

,二面角的余弦值为          12分

法二、

由（1）知平面，所以平面平面

过作交于，则平面

再过作交于，连结，则就是二面角的平面角

由题设得。由勾股定理得：

所以.

二面角的余弦值为                                      12分

考点：1、面面垂直的性质和判定定理；2、二面角的求法