Question

已知圆，圆，动圆与已知两圆都外切.

（1）求动圆的圆心的轨迹的方程；

（2）直线与点的轨迹交于不同的两点、，的中垂线与轴交于点，求点的纵坐标的取值范围.

Answer

（1）动圆的圆心的轨迹的方程为：；（2）

【解析】

试题分析：（1）两圆外切，则两圆圆心之间的距离等于两圆的半径之和，由此得将两式相减得：

由双曲线的定义可得轨迹的方程.

（2）将直线的方程代入轨迹的方程，利用根与系数的关系得到、的中点的坐标（用表示），从而得的中垂线的方程。再令得点的纵坐标（用表示）.根据的范围求出点的纵坐标的取值范围.

本小题中要利用及与双曲线右支相交求的范围，这是一个易错之处.

试题解析：（1）已知两圆的圆心、半径分别为

设动圆的半径为，由题意知：

则

所以点在以为焦点的双曲线的右支上，其中，则

由此得的方程为：                                 4分

（2）将直线代入双曲线方程并整理得：

设的中点为

依题意，直线与双曲线右支交于不同两点，故

且

则的中垂线方程为：

令得：                              12分

考点：1、两圆外切的性质；2、双曲线的定义及方程；3、直线与圆锥曲线的关系