Question

如图，点是以线段为直径的圆上一点，于点，过点作圆的切线，与的延长线交于点，点是的中点，连结并延长与相交于点，延长与的延长线相交于点.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：是圆的切线.

Answer

（Ⅰ）详见试题解析；（Ⅱ）详见试题解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由，可得，从而可得

通过等量代换及题设“点是的中点”可得.

（Ⅱ）目标是要证是直角，连结便可看出只要证得是等腰三角形即可．显然是等腰三角形。因为直径上的圆周角是直角，，所以是直角三角形. 由（Ⅰ）得所以，从而本题得证.

试题解析：证明：（Ⅰ） 是圆的直径，是圆的切线，

．又，

．

可以得知，    ．

．．

是的中点，．．                         5分

（Ⅱ）连结．

是圆的直径，．

在中，由（Ⅰ）得知是斜边的中点，

．．

又，．

是圆的切线，

，

是圆的切线．                                                    10分

考点：1、相似三角形；2、圆的性质；3、等量代换；4、直角三角形斜边上的中线；5、几何证明