Question

经过点且与直线相切的动圆的圆心轨迹为.点在轨迹上，且关于轴对称，过线段（两端点除外）上的任意一点作直线，使直线与轨迹在点处的切线平行，设直线与轨迹交于点.

（1）求轨迹的方程；

（2）证明：；

（3）若点到直线的距离等于，且的面积为20，求直线的方程.

Answer

（1）；（2）证明过程详见解析；（3）.

【解析】

试题分析：本题主要考查抛物线、圆、直线的标准方程和几何性质，考查用代数法研究圆锥曲线的性质以及数形结合思想、分类讨论思想.第一问，根据圆与直线相切列出表达式；第二问，把证明角相等转化为证明两个斜率之间的关系；第三问，找直线上的点的坐标和直线的斜率，本问应用了数形结合思想.

试题解析：（1）设动圆圆心为，依题意得.

整理，得，所以轨迹的方程为.(2分)

（2）由（1）得，即，则.

设点，由导数的几何意义知，直线的斜率为，

由题意知点，设点，

则，

即.

因为，，

由于，即，

所以.(6分)

（3）由点到的距离等于，可知，

不妨设点在上方（如图），即，直线的方程为：.

由，解得点的坐标为，

所以，

由（2）知，同理可得，

所以的面积，解得.

当时，点的坐标为，，

直线的方程为，即.

当时，点的坐标为，，

直线的方程为，即. (12分)

考点：1.圆、抛物线、直线的标准方程；2.斜率公式；3.导数的几何意义；4.三角形面积公式.