Question

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），若以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标，曲线的极坐标方程为（其中为常数）.

（1）若曲线与曲线只有一个公共点，求的取值范围；

（2）当时，求曲线上的点与曲线上的点的最小距离.

Answer

（1）或；（2）.

【解析】

试题分析：本题考查极坐标与直角坐标之间的转化，参数方程与普通方程之间的转化，考查学生的转化能力和计算能力，考查数形结合思想.第一问，把参数方程和极坐标方程先进行转化，再利用数形结合解题；第二问，考查点到直线的距离公式，利用配方法求最小值.

试题解析：(1)曲线可化为，，

曲线可化为，

若曲线，只有一个公共点，

则当直线过点时满足要求，此时，

并且向左下方平行运动直到过点之前总是保持只有一个公共点，

当直线N过点时，此时，

所以满足要求；

再接着从过点开始向左下方平行运动直到相切之前总有两个公共点，相切时仍然只有一个公共点，联立，得，

，解得，

综上可求得的取值范围是或.（5分）

（2）当时，直线，

设上的点为，，

则曲线上的点到直线的距离为，

当时取等号，满足，所以所求的最小距离为.(10分)

考点：1.参数方程与普通方程的互化；2.极坐标方程与直角坐标方程的互化；3.点到直线的距离公式；4.配方法求最值.