Question

如图，在四棱锥A-BCDE中，侧面∆ADE是等边三角形，底面BCDE是等腰梯形，且CD∥BE,DE=2，CD=4, ,M是DE的中点，F是AC的中点，且AC=4，

求证：（1）平面ADE⊥平面BCD;

(2)FB∥平面ADE.

Answer

（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.

【解析】

试题分析：（1）首先根据直线与平民啊垂直的判定定理证明平面BCD,

然后再根据平面垂直的判定定理证明平面ADE⊥平面BCD；（2），取DC的中点N，首先证FN∥平面ADE,然后再证∴BN∥平面ADE,再根据平面与平民啊平行的判定定理证明∴平面ADE∥平面FNB,最后由面面平行的性质即可.

试题解析：（1）∵∆ADE是等边三角形，,M是DE的中点，

∴,

∵在∆DMC中，DM=1，,CD=4，

∴ ，即MC=.

在∆AMC中， 

∴AM⊥MC,

又∵ , ∴平面BCD,

∵AM平面ADE, ∴平面ADE⊥平面BCD.

（2）取DC的中点N，连结FN,NB,

∵F,N分别是AC，DC的中点，∴FN∥AD,由因为FN平面ADE,AD平面ADE, ∴FN∥平面ADE,

∵N是DC的中点，∴BC=NC=2，又，∴∆BCN是等边三角形，∴BN∥DE,

由BN平面ADE,ED平面ADE, ∴BN∥平面ADE,

∵ , ∴平面ADE∥平面FNB,

∵FB平面FNB, ∴FB∥平面ADE.

考点：1.直线与平面垂直的判定；2.平面一平面垂直的判定；3.直线与平面平行的判定.