Question

已知函数（m为常数,e=2.71828…是自然对数的底数），函数 的最小值为1，其中 是函数f(x)的导数.

（1）求m的值.

（2）判断直线y=e是否为曲线f(x)的切线，若是，试求出切点坐标和函数f(x)的单调区间；若不是，请说明理由.

Answer

（1） 1  ;（2）是,（1，e）;单调减区间(0,+∞).

【解析】

试题分析：（1）求导数，转化为分式不等式，最后根据不等式的基本性质求解即可.（2）利用导数的几何意义，求过（1，e）的切线即可验证.

试题解析：由，得，∞），

=，

所以2-m=1，解得m=1.

（2）由(1)得，得，令h（x）=，则=，

当时，>0，当∞）时，<0,所以h（x）max=h（1）=0.

又因为ex>0,所以可得当∞）时，恒成立.故当∞）时，函数单调递减.

因为且，所以曲线在（1，e）点出的切线方程为y-e=0（x-1），即y=e.

所以直线y=e是曲线f(x)的切线，切点坐标（1，e），且在∞）上单调递减.

考点：1.求导；2.导数的几何意义；3.导数性质的应用.