Question

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S₃=，且S₁，S₂，S₄成等比数列，

（1）求数列{a_n}的通项公式.

（2）若{a_n}又是等比数列，令b_n= ，求数列{b_n}的前n项和T_n.

Answer

（1）an=3或an=2n-1; （2）Tn= 

【解析】

试题分析：（1）首先根据等差数列的性质，把已知条件转化为关于a2的方程，解出a2的值，然后再根据等比数列的性质，结合已知条件列出关于a2、d的方程，求出公差d即可求出通项公式；（2）求出Sn的表达式，利用裂项法求和.

试题解析：（1）设数列{an}的公差为d，由S3=，可得3a2=，解得a2=0或a2=3.

由S1，S2，S4成等比数列，可得 ,由，故 .

若a2=0，则，解得d=0.此时Sn=0.不合题意；

若a2=3，则，解得d=0或d=2，此时an=3或an=2n-1.

（2）若{an}又是等比数列，则Sn=3n，所以bn=== ，

故Tn=（1－ ）+（－ ）+（－）+…+（）=1－=.

考点：1.等差数列和等比数列的性质；2.等差数列的通项公式；3.数列的前n项和求法—裂项法.