Question

如图，在四棱锥A-BCDE中，底面四边形BCDE是等腰梯形，BC∥DE, =45 ,O是BC的中点，AO= ,且BC=6，AD=AE=2CD=2 ，

(1)证明：AO⊥平面BCD；(2)求二面角A-CD-B的平面角的正切值.

Answer

（1）证明详见解析；（2） 

【解析】

试题分析：（1）根据勾股定理证，即，再证，直线与平面垂直的判定定理即可得证明；

（2）过O点作交CD的延长线于H，根据已知可证二面角A-CD-B的平面角，然后通过解三角形即可求得.

试题解析：（1）易得OC=3，AD=2,连结OD，OE，在∆OCD中，

由余弦定理可得OD= =.

∵AD=2,∴,∴,

同理可证：,又∵,平面BCD , 平面BCD ,∴AO⊥平面BCD；

（2）方法一：过O点作交CD的延长线于H，连结AH，因为AO⊥平面BCD,所以,故为二面角A-CD-B的平面角.

因为OC=3， =45，所以OH= ,从而tan=.

方法二：以O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz如图所示.则A(0，0， ),C(0，-3，0),D(1，-2，0),

所以=(0，3，),=(-1，2，).

设为平面ACD的一个法向量，则 ,

即  解得 ，令x=1，得.

由（1）知，为平面CDB的一个法向量，所以cos< >==,

由A-CD-B为锐二面角，所以二面角A-CD-B的平面角的正切值为 .

考点：1. 直线与平面垂直的判定定理；2.直线与平面垂直的性质以及直线与平面所成的角.