Question

已知函数 .

（1）若 的极小值为1，求a的值.

（2）若对任意 ，都有 成立，求a的取值范围.

Answer

（1） （2） 

【解析】

试题分析：（1）先求导，利用导数的性质求出存在极小值的条件，然后求解即可；（2）利用导数的求出函数的单调性，然后在求出函数在上的极小值，可得极小值大于等于1，解之即可.

试题解析：（1）因为，所以

当a≤0时，，所以在定义域（0，+∞上单调递减，不存在极小值；

当a>0时，令，可得  ，当 时，有， 单调递减；当时，由， 单调递增，

所以是函数的极小值点，故函数的极小值为，解得.

（2）由（1）可知，当a≤0时，在定义域（0，+∞上单调递减，且在x=0附近趋于正无穷大，而，由零点存在定理可知函数在（0,1]内存在一个零点，不恒成立；

当a>0时，若恒成立，则，即a≥1，

结合（1）a≥1时，函数在（0,1]内先减后增，要使恒成立，则的极小值大于或等于1成立，所以 即，可得，综上可得.

考点：1.求函数的导数和利用导数求函数的单调性；（2）利用导数由不等式恒成立问题求出参数.