Question

已知函数，；

(Ⅰ)若函数在[1,2]上是减函数，求实数的取值范围；

(Ⅱ)令，是否存在实数，当 (是自然对数的底数)时，函数的最小值是．若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据原函数的单调性转化为导数来求；（Ⅱ）利用导数分析单调性，进而求最值.

试题解析：（Ⅰ）若函数在[1,2]上是减函数，

则在[1,2]上恒成立

令h(x)＝2x2＋ax－1，x∈[1,2]，∴h(x)≤0在[1,2]上恒成立

∴得，∴a≤             6分

（Ⅱ）假设存在实数a，使g(x)＝f(x)－x2，x∈(0，e]有最小值3

g(x)＝ax－lnx，x∈(0，e]，g′(x)＝a－＝ 

①当a≤0时，g′(x)<0，g(x)在(0，e]上单调递减

∴g(x)min＝g(e)＝ae－1＝3，∴a＝ (舍去)

②当0<时，在(0，)上，g′(x)<0；在(，e]上，g′(x)>0

∴g(x)在(0，]上单调递减，在(，e]上单调递增

∴g(x)min＝g＝1＋lna＝3，∴a＝e2满足条件

③当≥e即0 (舍去)

综上所述，存在a＝e2使得当x∈(0，e]时，g(x)有最小值3     .15分

考点：本小题主要考查导数，函数的单调性，分类讨论的数学思想，考查了学生的综合化简计算能力.