Question

已知点，是抛物线上相异两点，且满足．

（Ⅰ）若的中垂线经过点，求直线的方程；

（Ⅱ）若的中垂线交轴于点，求的面积的最大值及此时直线的方程．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：(Ⅰ) 利用导数分析单调性，进而求最值；(Ⅱ)利用不等式的放缩和数列的裂项求和

试题解析：（I）方法一

（I）当垂直于轴时，显然不符合题意，

所以可设直线的方程为，代入方程得：

∴        得：                 2分

∴直线的方程为 

∵中点的横坐标为1，∴中点的坐标为                   4分       

∴的中垂线方程为             

∵的中垂线经过点，故，得                  6分

∴直线的方程为                                    7分

（Ⅱ）由（I）可知的中垂线方程为，∴点的坐标为     8分

因为直线的方程为

∴到直线的距离                10分

由 得，，

                      12分

∴,   设,则，

，，由，得 

在上递增，在上递减，当时，有最大值

得：时，    

直线方程为                                 15分

(本题若运用基本不等式解决，也同样给分)

法二：

（Ⅰ）当垂直于轴时，显然不符合题意，

当不垂直于轴时，根据题意设的中点为，

则                                           2分

由、两点得中垂线的斜率为，                             4分

由，得                                               6分

∴直线的方程为                                           7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知直线的方程为                           8分

中垂线方程为，中垂线交轴于点

点到直线的距离为                          10分

由得：

当时，有最大值，此时直线方程为        15分

考点：本小题主要考查直线方程，抛物线方程等知识点，考查学生的综合处理能力.