Question

如图，已知抛物线焦点为，直线经过点且与抛物线相交于，两点

（Ⅰ）若线段的中点在直线上，求直线的方程；

（Ⅱ）若线段，求直线的方程

Answer

(Ⅰ);(Ⅱ) 

【解析】

试题分析：(Ⅰ)根据已知条件设出未知的点的坐标和斜率，根据两点间的斜率公式和中点坐标公式找等价关系，求出直线 的斜率，由已知得的根据斜截式求出直线方程； (Ⅱ)设出直线的方程为，这样避免讨论斜率的存在问题，与抛物线的方程联立方程组，得到根与系数的关系，根据直线与抛物线相交的交点弦的长来求参数的值

试题解析：【解析】
(Ⅰ)由已知得交点坐标为，                    2分

设直线的斜率为，，,中点 

则，，

所以，又，所以              4分

故直线的方程是：             6分

(Ⅱ)设直线的方程为，                7分

与抛物线方程联立得，

消元得，              9分

所以有，， 

                  11分

所以有，解得，                  13分

所以直线的方程是：，即                     15分

考点：1、直线的方程；2、直线与圆锥曲线的关系