Question

设，函数 

（1）当时,求曲线在处的切线方程；

（2）当时，求函数的单调区间；

（3）当时,求函数的最小值

Answer

(1) ;(2) 在内单调递减，内单调递增；

（3） 

【解析】

试题分析：(1)写出函数的解析式，求导得斜率，求切点，进而得直线方程，注意解析式的取舍（时）；（2）函数为分段函数，分段判单调性，求出函数的单调区间；（3）分和两种情况进行分析，在第二种情况下要对与区间进行比较，又分三种情况进行判断单调性，求最小值

试题解析：（1）当时，，令得，

所以切点为，切线斜率为1，

所以曲线在处的切线方程为： 

（2）当时

当时，，

在内单调递减，内单调递增；

当时，恒成立，故在内单调递增；

综上，在内单调递减，内单调递增．

（3）①当时，， 

，恒成立． 在上增函数．

故当时，

 ②  当时，，

（）

ⅰ)当，即时，在时为正数，所以函数在上为增函数，

故当时，，且此时 

ⅱ)当，即时，在时为负数，在时为正数，

所以在上为减函数，在为增函数

故当时，，且此时 

ⅲ)当，即时，在时为负数，所以函数在上为减函数，

故当时， 

综上所述，当时，函数在和时的最小值都是 

所以此时函数的最小值为；当时，函数在时的最小值为，而，

所以此时的最小值为 

考点：1 求切线方程；2 函数的单调性判断（导数法）；3 利用导数求函数的最值