Question

已知函数，.

(Ⅰ)若，求函数在区间上的最值；

(Ⅱ)若恒成立，求的取值范围. （注：是自然对数的底数）

Answer

(Ⅰ) 最大值；(Ⅱ) 的取值范围是.

【解析】

试题分析：(Ⅰ) 讨论去掉绝对值，利用导数求得最值； (Ⅱ) 对分，讨论：当时，，恒成立，所以；当时，对讨论去掉绝对值，分离出通过求函数的最值求得的范围.

试题解析：(1) 若，则.当时，，

，  所以函数在上单调递增；

当时，，.

所以函数在区间上单调递减，所以在区间[1,e]上有最小值，又因为，

，而，所以在区间上有最大值.

(2) 函数的定义域为．  由，得．            （*）

（ⅰ）当时，，，不等式（*）恒成立，所以；

（ⅱ）当时，

①当时，由得，即，

现令， 则，因为，所以，故在上单调递增，

从而的最小值为，因为恒成立等价于，所以；

②当时，的最小值为，而，显然不满足题意.

综上可得，满足条件的的取值范围是. 

考点：绝对值的计算、函数的最值求法、利用导数求函数单调性.