Question

已知函数在处取得极值.

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）设是曲线上除原点外的任意一点,过的中点且垂直于轴的直线交曲线于点,试问：是否存在这样的点,使得曲线在点处的切线与平行？若存在,求出点的坐标；若不存在,说明理由；

（Ⅲ）设函数,若对于任意,总存在,使得,求实数的取值范围.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，坐标为；（Ⅲ）的取值范围是.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由题意知，解出；（Ⅱ）先假设存在这样的点并设出点的坐标，然后根据斜率相等列出等式，解得即可；（Ⅲ）有3中解法，1的基本思路是：先利用导数求得的最小值，然后说明在上的最小值不能大于的最小值，根据这一条件求得的范围；2的基本思路是：先利用导数求得的最小值-2，要使总存在,使得成立，说明在上有解，利用二次函数知识解答；3的基本思路和2有相似地方，只是在说明在上有解时，不是利用二次函数知识，而是利用换元和分离参数法解答.

试题解析：⑴∵,∴.又在处取得极值.

∴,即,解得,,经检验满足题意,∴. 

⑵由⑴知.假设存在满足条件的点,且,则,

又.则由,得,∴,∵,

∴,得.故存在满足条件的点

此时点的坐标为或.

⑶解法： ,令,得或.

当变化时,、的变化情况如下表：

单调递减

极小值

单调递增

极大值

单调递减

∴在处取得极小值,在处取得极大值.

又时,,∴的最小值为.     

∵对于任意的,总存在,使得,

∴当时,最小值不大于.又.

∴当 时,的最小值为,由,得；

当时,最小值为,由,得；

当时,的最小值为.由,即,解得或.又,∴此时不存在.

综上,的取值范围是.

解法：同解法得的最小值为.

∵对于任意的,总存在,使得,∴当时,有解,即在上有解.设,则

得,  或,得或.

∴或时,在上有解

故的取值范围是.

   解法：同解法得的最小值为.  

∵对于任意的,总存在,使得,∴当时,有解,即在上有解.令,则,∴.

∴当时,；当时,得,不成立,∴不存在；

当时,.令,∵时,,∴在

上为减函数,∴,∴.

   综上,的取值范围是.   

考点：利用导数求函数的极值、二次函数、利用导数求函数的单调性.